Question

已知函数f（x）=

3x

a

-2x2+Inx，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（I）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由a=1得f（x）的解析式，求导，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分别得出x的取值范围，即f（x）的单调区间；
（II）由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分离出a，把右边看为函数，得到函数的单调性得最值，得关于a的不等式，求解得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）若a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，定义域为（0，+∞）
f′(x)=

1

x

-4x+3=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

（x＞0）（3分）
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调增区间为（0，1），
函数f（x）=3x-2x²+lnx单调减区间为（1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）.f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
即f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

在[1，2]
f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0或f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≤0恒成立．
f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0或f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≤0（8分）
即

3

a

-4x+

1

x

≥0或

3

a

-4x+

1

x

≤0在[1，2]恒成立．
即

3

a

≥4x-

1

x

或

3

a

≤4x-

1

x

令h(x)=4x-

1

x

，因函数h（x）在[1，2]上单调递增．
所以

3

a

≥h(2)或

3

a

≤h(1)

3

a

≥

15

2

或

3

a

≤3，解得a＜0或0＜a≤

2

5

或a≥1（12分）

点评：本题考查了利用导数求函数的单调性，和其逆问题，由单调性来确定导数非负或非正，分离参数，利用函数的思想，求最值，得关于a的不等式．