Question

2．已知函数 f（x）=x|x-a|+b
（1）若a=1，b=0，求函数f（x）的递减区间；
（2）若b=0且函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）设常数$b＜2\sqrt{2}-3$，若对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去绝对值，讨论x的范围，由二次函数的对称轴和区间的关系，可得减区间；
（2）去绝对值，对a讨论，结合对称轴和区间[3，+∞），即可得到a的范围；
（3）当x=0时，b＜0恒成立；当x∈（0，1]时，可化为$x+\frac{b}{x}＜a＜x-\frac{b}{x}$对x∈（0，1]恒成立，运用函数的单调性，即可得到最值，进而得到b的范围．

解答 解：（1）若a=1，b=0，则f（x）=x|x-1|，
当x≥1时，f（x）=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在[1，+∞）递增，
当x＜1时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$在（$\frac{1}{2}$，1）递减．
故f（x）的减区间为$（{\frac{1}{2}，1}）$；
（2）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$．
由函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，
则a=0显然成立，a＜0，x≥0递增，显然成立；
当0＜a≤3时，由x²-ax=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$在[a，+∞）递增，成立；
当a＞3时，不成立．
则a的范围是a≤3；
（3）当x=0时，b＜0恒成立；
当x∈（0，1]时，可化为$x+\frac{b}{x}＜a＜x-\frac{b}{x}$对x∈（0，1]恒成立，
只需满足${（{x+\frac{b}{x}}）_{max}}＜a＜（{x-\frac{b}{x}}）min$，
当b＜-1时，$y=x+\frac{b}{x}$在x∈（0，1]递增，
所以${（{x+\frac{b}{x}}）_{max}}=1+b$，
$y=x-\frac{b}{x}$在x∈（0，1]递减，
所以$（{x-\frac{b}{x}}）min=1-b$，
所以a∈（1+b，1-b）
当$-1≤b＜2\sqrt{2}-3$时，$（{x-\frac{b}{x}}）min=2\sqrt{-b}$，
所以$1+b＜a＜2\sqrt{-b}$．

点评 本题考查绝对值函数的单调区间，同时不等式的恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，考查运算能力和分类讨论的思想方法，属于中档题．