Question

【题目】设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x﹣2）＝x2﹣3x+3．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若{x|f（x﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝{a}，求a和b的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）＝x2+x+1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）采用换元法，令x﹣2＝t，即可求得解析式；

（Ⅱ）先将表达式化简，再结合{x|f（x﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝{a}可得，解方程可求a和b的值

（Ⅰ）依题意，令x﹣2＝t，则x＝t+2，∴f（t）＝（t+2）2﹣3（t+2）+3＝t2+t+1，

∴f（x）＝x2+x+1；

（Ⅱ）依题意，方程x2﹣3x+3＝﹣（a+2）x+3﹣b有唯一解a，即方程x2+（a﹣1）x+b＝0有唯一解a，

∴，解得．