Question

1．若直线y=kx与曲线y=x²+x所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{12}$，则k=1+$\frac{\root{3}{4}}{2}$或1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值

解答 解：函数的导数为f′（x）=2x+1，则f′（0）=1，
将y=kx代入y=x²+x得x=0或x=k-1，
若k＞1，则对应的面积S=${∫}_{0}^{k-1}$（kx-x²-x）dx=[$\frac{1}{2}$（k-1）x²-$\frac{1}{3}x$³]|${\;}_{0}^{k-1}$
=[$\frac{1}{2}$（k-1）³-$\frac{1}{3}$（k-1）³]=$\frac{1}{6}$（k-1）³=$\frac{1}{12}$，
即（k-1）³=$\frac{1}{2}$，即k-1=$\root{3}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\root{3}{4}}{4}$，即k=$\frac{\root{3}{4}}{4}$+1，
若k＜1，则对应的面积S=${∫}_{k-1}^{0}$（kx-x²-x）dx=[$\frac{1}{2}$（k-1）x²-$\frac{1}{3}x$³]|${\;}_{k-1}^{0}$
=-[$\frac{1}{2}$（k-1）³-$\frac{1}{3}$（k-1）³]=-$\frac{1}{6}$（k-1）³=$\frac{1}{12}$，
即（k-1）³=-$\frac{1}{2}$，即k-1=-$\root{3}{\frac{1}{2}}$=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，即k=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
综上k=1+$\frac{\root{3}{4}}{2}$或k=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
故答案为：1+$\frac{\root{3}{4}}{2}$或1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

点评 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题