题目内容

已知sin(π-α)=
4
5
,α∈(0,
π
2
).
(1)求sin2α-cos2
α
2
的值;
(2)求函数f(x)=
5
6
cosαsin2x-
1
2
cos2x的单调递增区间.
分析:通过条件求出sinα=
4
5
,cosα=
3
5

(1)利用二倍角的正弦,余弦的升角降次,直接求出sin2α-cos2
α
2
的值.
(2)化简函数f(x)=
5
6
cosαsin2x-
1
2
cos2x为
2
2
sin(2x-
π
4
),借助正弦函数的单调增区间,求出函数f(x)的单调递增区间.
解答:解:∵sin(π-α)=
4
5
,∴sinα=
4
5

又∵α∈(0,
π
2
),∴cosα=
3
5

(1)sin2α-cos2
α
2

=2sinαcosα-
1+cosα
2

=2×
4
5
×
3
5
-
1+
3
5
2
=
4
25

(2)f(x)=
5
6
×
3
5
sin2x-
1
2
cos2x
=
2
2
sin(2x-
π
4
).
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,
得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3
8
π,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-
π
8
,kπ+
3
8
π],k∈Z.
点评:本题是基础题,考查二倍角格式的灵活应用,基本三角函数的单调增区间的求法,考查公式的灵活运用能力,基本知识的掌握程度.
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