题目内容
【题目】设抛物线的对称轴是
轴,顶点为坐标原点
,点
在抛物线
上,
(1)求抛物线的标准方程;
(2)直线与抛物线
交于
、
两点(
和
都不与
重合),且
,求证:直线
过定点并求出该定点坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析;直线
恒过点
.
【解析】
(1)设,将点
代入方程求解即可;
(2)当时显然不成立;当
时联立直线方程
与抛物线方程,利用韦达定理得到
及
的关系,由
可得
,代入即可得到
与
的关系,进而得到定点;当
不存在时,联立直线方程
与抛物线方程,同理运算即可
解:(1)因为抛物线的对称轴是
轴,设抛物线
的标准方程为
,
因为抛物线经过点
所以
,所以
,
所以设抛物线的标准方程为
(2)证明:当直线的斜率存在且
时,显然直线
与抛物线至多只有一个交点,不符合题意;
当直线的斜率存在且
时,设直线
的方程为
,
联立,消去
,得
①;
消去,得
②;
设,则
为方程①的两根,
为方程②的两根,
,
因为,所以
,
因为,所以
,
即,
所以,即
,
所以直线的方程可化为
,
当时,无论
取何值时,都有
,所以直线
恒过点
,
当直线的斜率不存在时,设直线
的方程为
,
把与
联立得
,
则,
因为,
所以,即
,得
,
所以直线的方程为
,
所以直线过点
,
综上,无论直线的斜率存在还是不存在,直线
恒过点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生450人)中,根据性别分层,采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.
(1)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的100名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),如表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
(2)在抽取到的女生中按(1)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中随机抽取4人,设这4人中选择“地理”的人数为,求
的分布列及数学期望.
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
附参考公式及数据:,其中
.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |