Question

已知点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-

1

5

，
（1）求M的轨迹C的方程．
（2）若点F₁（-2

5

，0），F₂（2

5

，0），P为曲线C上的点，∠F₁PF₂=

π

3

，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）利用直线的斜率公式即可得出；
（2）利用椭圆的定义及余弦定理、三角形的面积公式即可得出．

解答：解：（1）设点M（x，y），（x≠±5），则kAM=

y

x+5

，kBM=

y

x-5

，
由题意得

y

x+5

×

y

x-5

=-

1

5

，
化为

x2

25

+

y2

5

=1(x≠±5)．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由椭圆的定义可得：m+n=10，
在△PF₁F₂中，由余弦定理得(4

5

)2=m2+n2-2mncos60°，
化为80=（m+n）²-3mn，
把m+n=10代入上式得80=10²-3mn，
解得mn=

20

3

．
∴S△PF1F2=

1

2

mnsin60°=

5 3

3

．
即△PF₁F₂的面积为

5 3

3

．

点评：熟练掌握椭圆的定义及余弦定理、三角形的面积公式、直线的斜率计算公式是解题的关键．