Question

14．若0＜x₁＜x₂＜1，则（　　）

• A． sinx₂-sinx₁＞lnx₂-lnx₁
• B． ${e^{x_2}}ln{x_1}＜{e^{x_1}}ln{x_2}$
• C． ${x_1}-{x_2}＜{e^{x_1}}-{e^{x_2}}$
• D． x₂e${\;}^{{x}_{1}}$＜x₁e${\;}^{{x}_{2}}$

Answer 1

分析 对每个选项进行构造函数，求导数，根据导数符号判断函数在（0，1）上的单调性，根据单调性判断x₁，x₂对应函数值的大小，从而判断每个选项的正误．

解答 解：A．设$y=sinx-lnx，y′=cosx-\frac{1}{x}$；
∵0＜x＜1；
∴$\frac{1}{x}＞1，cosx＜1$；
∴y′＜0；
∴y=sinx-lnx在（0，1）上单调递减；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴y₁＞y₂；
即sinx₁-lnx₁＞sinx₂-lnx₂；
∴sinx₂-sinx₁＜lnx₂-lnx₁；
∴该选项错误；
B．设$y=\frac{{e}^{x}}{lnx}，y′=\frac{{e}^{x}（lnx-\frac{1}{x}）}{l{n}^{2}x}$；
∵0＜x＜1；
∴$lnx＜0，-\frac{1}{x}＜0$；
∴y′＜0；
∴$y=\frac{{e}^{x}}{lnx}$在（0，1）上单调递减；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{ln{x}_{1}}＞\frac{{e}^{{x}_{2}}}{ln{x}_{2}}$；
∴${e}^{{x}_{2}}ln{x}_{1}＜{e}^{{x}_{1}}ln{x}_{2}$；
∴该选项正确；
C．设y=x-e^x，y′=1-e^x；
∵0＜x＜1；
∴e^x＞1；
∴y′＜0；
∴y=x-e^x在（0，1）上单调递减；
∴${x}_{1}-{e}^{{x}_{1}}＞{x}_{2}-{e}^{{x}_{2}}$；
∴${x}_{1}-{x}_{2}＞{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}$；
∴该选项错误；
D．设$y=\frac{x}{{e}^{x}}，y′=\frac{1-x}{{e}^{x}}$；
∵0＜x＜1；
∴1-x＞0，e^x＞0；
∴y′＞0；
∴$y=\frac{x}{{e}^{x}}$在（0，1）上单调递增；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴$\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}＜\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}$；
∴${x}_{2}{e}^{{x}_{1}}＞{x}_{1}{e}^{{x}_{2}}$；
∴该选项错误．
故选：B．

点评 考查通过构造函数，根据函数单调性解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及函数单调性的定义．