题目内容

如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,

      

       (I)求证:平面BCD;

       (II)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小;

       (III)求点E到平面ACD的距离.

方法一:       (I)证明:连结OC

      

                 

       在中,由已知可得

       而

      

      

      

       平面

       (II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

       在中,

      

       是直角斜边AC上的中线,

      

    异面直线AB与CD所成角的大小为

    (III)解:设点E到平面ACD的距离为

   

    在中,

   

    而

      

       点E到平面ACD的距离为

       方法二:       (I)同方法一.

       (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则

      

      

       异面直线AB与CD所成角

       的大小为

       (III)解:设平面ACD的法向量为

      

      

       令是平面ACD的一个法向量。

       又

       点E到平面ACD的距离

      

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