题目内容
【题目】如图所示，截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内。在管内的底部A处有一个质量为m、直径比细管直径略小的小球，其上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，轻绳在外力F的作用下拉动小球以恒定的速率v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动。已知小球与管内壁中位于大环内侧部分的壁光滑，外侧部分的壁粗糙（与小球的摩擦系数为
）。忽略大环内、外半径的差别，认为均为R，试求A到B过程中外力F对球所做的功。
【答案】
【解析】
如图乙所示，在拉起的过程中，由
，故寻求
即可。
因为
，
而
，
所以
。
将轨道分为很多微小的元段，每个元段的长度为
，则每元段对应摩擦力做功
。
功是标量，求和遵从代数累积，故
。
其结果需要分两种情形讨论——
1．若N始终存在且大于零，即
（或
），
则求和为全程累积，有
，
，所以
。
2．若
，
N存在的最大角度
，
求和为部分累积，有
，
，所以
。
故：若，则
；
若，则
。
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