Question

【题目】有一内壁光滑的旋转抛物面，方程，内壁上有一质量为的小球在一水平面内做半径为的无摩擦的圆周运动，如图甲所示.突然，小球受到一个沿子午线方向的一个冲量，使其得到沿子午线方向的速度分量，试证明：小球在此后的运动中，将被限制在两个水平面间运动.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

小球在曲面上运动，是一种二维运动，应有两个动力学方程给出描述，如果有守恒方程，则可以代替动力学方程.

本系统的守恒方程有两个.

（i）因为小球在运动过程中，受两个力作用：重力和曲面支持力，前者平行于轴，后者通过轴，所以，对轴的力矩为零，另外，还受一个沿子午线方向的冲量，但相对于轴的冲量矩为零.

系统在受冲量前后，相对于轴的角动量守恒，其守恒量的大小为，式中待定.

（ii）在小球受到冲击后，除了重力（保守力）外，非保守力（支持力）不做功，所以，系统在受冲击后机械能守恒，守恒量的大小为

初始位置：，且，所以.

为了明确守恒量的大小，我们先计算的值.

改写旋转抛物面方程：.

令，

则.

最初，，小球受力如图乙所示，由牛顿第二定律可得

，，

所以，.

这里正好是小球所在处曲线的斜率.由得

，，

所以，.

则两个守恒量的大小分别为

，

.

设小球在以后运动中的任一状态的速度为

，

则，

.

利用①，②子午线方向的速度分量可得

.

当时，正好是小球达到最低或最高位置，由此解出的值就是最低、最高的两个平面，小球以后将在这两个平面内运动.在上式中令，有

，

整理可得，

解得，.

以后小球就在这两个平面之间运动.

本题是考查角动量守恒与机械能守恒运用的代表模型.

与本题类似的曲面还有锥面、球面以及其他曲线所给出的旋转曲面等，其处理方式基本上与本题如出一辙，只是涉及的曲线不同而已.

质点在这类曲面中的运动一般有两种可供研究的运动模型，一是质点在某一高度处做稳定的匀速圆周运动，如本题中的初态；二是质点在某个高度区间内做运动，其过程遵循角动量与机械能守恒，我们即使是从定性的角度也能判断质点在最高处与最低处时，其竖直方向上的速度为零.