题目内容
【题目】某热机是装有气体的圆筒，筒内活塞的运动受到挡板AA和BB限制（如图所示）。缓慢加热气体，直到活塞刚碰到挡板BB，此后弹簧底部从位置CC移到位置DD。然后容器缓慢地冷却，直到活塞刚碰到挡板AA。当弹簧底向后移到CC时，容器又加热，等等。求这热机的效率。筒内装的氦气，活塞面积
，弹簧的劲度系数
，在未伸长状态时弹簧长度
，外界压强不计。
【答案】
【解析】
在
图上作出气体循环过程。从气体膨胀开始。加热缓慢地进行，所以可以认为，任何时刻活塞处于平衡状态。弹簧未伸长状态长度等于从容器左壁到CC线的距离（见图上表示的长度），所以当气体膨胀时（活塞从挡板AA运动到挡板BB），弹簧的弹力与气体体积成正比，
，于是气体压强
。在这一阶段气体体积从
增加到
。气体压强从
增加到
（如图所示）。
当弹簧底从CC移到DD后，弹簧的弹力减小。导致容器冷却时气体未能立即开始压缩，而只是气体对活塞的压力减小，直到气体压力等于弹簧的弹力。这发生在
时。当进一步冷却时气体将被压缩，则压强将按如下规律变化：
，
式中
为固定在DD位置时弹簧未发生形变情况下气体的体积：
。由此可见，
。
当弹簧底从DD移到CC后，弹簧的弹力增大。当再加热气体时，气体只是从气体压力增加到等于弹簧弹力值时开始膨胀。这发生在
时，以后过程重复。
气体在一个循环内做的功数值上等于图上平行四边形的面积，即
。
在
和
段，气体获得的热量为
由此可见，这热机的效率为
。
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