Question

【题目】如图所示，一个质量为，半径为、厚度为（）的匀质环形导体圆盘可绕通过盘心且垂直盘面的金属轴转动，金属轴的电阻可忽略.圆盘上距盘心处的电阻率与成正比，即，为常量.整个环形圆盘处在与环面垂直的恒定匀强磁场中，磁感应强度的大小为.转轴与圆盘边缘通过电刷与理想电感连成闭合回路.一切摩擦均不计.

（1）现用一恒定的外力矩作用于圆盘，使它由静止开始转动，求当圆盘转动达到稳定时，圆盘转动的角速度和通过电感的电流.

（2）在圆盘转动达到稳定后，突然撤去外力矩，求以后通过电感的电流随时间的变化方程式.

Answer 1

【答案】（1），

（2）

【解析】

（1）先求圆盘的电阻，取半径为，宽为的小环带，有

，

所以， ①

圆盘以角速度转动时产生电动势，大小为

. ②

稳定时磁力矩，电流可由式得①②式得

, ③

. ④

稳定时，有

. ⑤

由①③④⑤式得

， ⑥

. ⑦

（2）撤去外力矩，角速度为时电流为，电动势为

. ⑧

对回路有. ⑨

由转动定律有

， ⑩

所以.

由⑧⑨式得

,

所以.

由⑩式得

.

故撤去外力矩后电流随时间的变化方程为

.

对于中学物理竞赛试题，我们并不能奢望它只涉及中学物理教学的内容.实际上，新的竞赛大纲所要求的内容越来越接近普通物理的内容，加之不再回避微积分的应用，这实际上已经突破了中学物理与大学物理的传统分界线.

中学物理涉及的物理基本规律与大学物理并没有什么大的差别，从中学物理到大学物理是一个螺旋上升的过程，这种上升更多地体现在研究手段与数学知识的运用上，当然，也不排除需要新增更多的知识内容.

本题要求给出电流随时间变化的方程式，其结果是二阶微分方程，其解答显然在中学阶段是无法完成的，但推导这一方程的过程我们很难说是大学物理还是中学物理.