Question

【题目】半径为，质量为的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。用一个高为的圆柱形刚性圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒内径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持接触，且无相互作用力。现取一质量为，半径为的第四球，放在三球上方正中。设四个球的表面、圆筒内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦系数均为。问：取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即可将四球一起提起来？

Answer 1

【答案】

【解析】

当上面的小球放上去以后,系统的俯视、侧视及受力示意图如图所示,

图中均为上面小球对下面球的作用力,当竖直向上提起圆筒时,对临界情况,先讨论是处先滑动还是处先滑动。

由对下球球心取力矩,有

对与力线交点取力矩,并考虑到下面球的重力,易得

。

考虑到各处的摩擦系数相等,故处摩擦力先达到最大值,处先滑动。

此时。

对四个球,有.

对,有

.

将相关条件代入后,整理得

,

解得。

(整理中取,其值为平衡时的最大值)

设,则，

所以，,

所以,,故。

又由于上球不能太小,否则会从中间掉下,必须

，故，

所以,，

即.

本题是球的堆放问题,由于下面三个球的情况一样,具有对称性,于是我们只需要讨论上面的球与下面某一个球的受力情况即可,这种对称性的应用在各类问题的研究中都比较常见。

如同本题的示意图,将空间问题降维至平面问题是我们处理此类问题必备的基本功这类试题能很好地考查答题者的空间思维能力。

本题另一个值得注意的点是,有同学得到的上限后,便认为大功告成殊不知,还存在一个小球下漏的问题,遗憾地漏掉了下限,这自然体现了答题者在思维全面性方面的缺陷,也是许多竞赛生在测试时常会做却做不对,或做对但做不全的原因。