Question

如图所示电路，电源两端电压保持不变．当开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到A端时，R₃的电功率为P₃，电流表的示数为I₁；当开关S₁断开、S₂闭合时，R₃的电功率为P₃′，电流表的示数为I₂．已知P₃：P₃′=9：25，
（1）求电流表的示数I₁与I₂的比值．
（2）当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在中间某位置C时，变阻器接入电路的电阻为R_c，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，已知U₁：U₂=3：2，R_c的电功率为10W，这时R₃的电功率为P．通过闭合或断开开关及移动滑动变阻器的滑片，会形成不同的电路，电路消耗的最大功率与电路消耗的最小功率之比为3：1．求R₃的电功率P．

Answer 1

分析：（1）本题有三个过程，每一个过程画一个等效电路：
当开关S₁闭合、S₂断开，变阻器的滑片移到A端时，如图甲所示；
当开关S₁断开、S₂闭合时，如图乙所示；
当开关S₁、S₂都断开，变阻器的滑片在C点时，如图丙所示．
电路消耗功率最大应为开关S₁、S₂都闭合，只有R₃接入，如图丁所示．
消耗功率最小应为R₃、R₁、滑动变阻器R_A全部串联接入电路，如图戊所示．

（2）用同一导体接入不同电路，根据功率之比，求出电流之比．
由丙过程中的电压表示数之比，列出电阻R₃、R₁、R_C的电阻关系式；
对应甲乙过程源电压相同，列出等式，由电流之比，导出电阻R₃、R₁、R_A的电阻关系式；
电路消耗的最大功率与电路消耗的最小功率之比为3：1，利用功率之比列出等式，找到电阻R₃、R₁、R_A的电阻关系式；
由三个方程解出的R₃与R_C关系，
根据串联电路的功率之比等于电阻之比，求出R₃的功率．

解答：解：
（1）当开关S₁闭合、S₂断开，变阻器的滑片移到A端时，等效电路如图甲所示；
当开关S₁断开、S₂闭合时，等效电路如图乙所示．

∵

P3

P′3

=

I12R3

I22R3

=

9

25

，
∴

I1

I2

=

3

5

．
（2）当开关S₁、S₂都断开，变阻器的滑片在C点时，等效电路如图丙所示．
∵

U1

U2

=

3

2

，
∴

R3+R1

R1+RC

=

3

2

，
∴3R₁+3R_C=2R₃+2R₁，
2R₃=R₁+3R_C①，
电源两端电压一定，在甲、乙电路中，根据U=IR，
I₁（R₃+R_A）=I₂（R₃+R₁），
3R_A=2R₃+5R₁②，
电路消耗功率最大应为开关S₁、S₂都闭合，只有R₃接入，如图丁所示，
消耗功率最小应为R₃、R₁、滑动变阻器R_A全部串联接入电路，如图戊所示，
∵电路总电压U一定，
∴

P最大

P最小

=

U2 R3

U2 R3+R1+RA

=

R3+R1+RA

R3

=

3

1

，
2R₃=R₁+R_A③，
根据①②③式，可得：R₃=2R_C，
在丙电路中，电流一定，

P

PC

=

R3

RC

=

2

1

，
P=2P_C=2×10W=20W．
答：R₃的电功率P为20W．

点评：本题综合性很强，具有一定的难度，并且很有代表性，本题的思路：
根据同一导体在不同电路中的功率关系，建立甲、乙过程的关系式，找到甲乙电路的电流之比．
根据开关的闭合和断开，以及滑动变阻器滑片的移动画出三个过程的等效电路是此题的关键，
根据不同过程的电源电压相等，建立甲、乙过程的关系式；
根据同一个过程的电压之比，建立丙过程的关系式；
根据电路的最大功率和最小功率之比，建立丁、戊关系式；
不同过程的电阻不变，电源电压不变，联立方程，找出R₃和R_C的关系，
根据串联电路的功率之比等于电阻之比，求出R₃的电功率．