题目内容

【题目】如图,已知AB为O的直径,F为O上一点,AC平分BAF且交O于点C,过点C作CDAF于点D,延长AB、DC交于点E,连接BC、CF.

(1)求证:CD是O的切线;

(2)若AD=6,DE=8,求BE的长;

(3)求证:AF+2DF=AB.

【答案】(1)证明详见解析;(2) (3)证明详见解析.

【解析】

试题分析:(1)连接OC,由AB为O的直径,得到ACB=90°,求得ACB=D,根据角平分线的性质得到BAC=CAD,通过相似三角形得到ABC=ACD,等量代换得到OCB=ACD,求出OCD=90°,即可得到结论;

(2)根据勾股定理得到AE==10,根据相似三角形的性质得到,代入数据得到r=,于是得到结论;

(3)过C作 CGAE于G,根据全等三角形的性质得到AG=AD,CG=CD,推出RtBCGRtFCD,由全等三角形的性质得到BG=FD,等量代换即可得到结论.

试题解析:(1)连接OC,

AB为O的直径,

∴∠ACB=90°,

CDAF,

∴∠D=90°,

∴∠ACB=D,

AC平分BAF,

∴∠BAC=CAD,

∴△ABC∽△ACD,

∴∠ABC=ACD,

OB=OC,

∴∠OBC=OCB,

∴∠OCB=ACD,

∵∠OCB+ACO=ACO+ACD=90°,

∴∠OCD=90°,

CD是O的切线;

(2)AD=6,DE=8,

AE==10,

OCAD,

∴∠OCE=ADE,

∴△OCE∽△ADE,

,即

r=

BE=10﹣=

(3)过C作 CGAE于G,

ACG与ACD中,

GAC=DAC,CGA=CDA,AC=AC,

∴△ACG≌△ACD,

AG=AD,CG=CD,

BC=CF,

在RtBCG与RtFCD中,

CG=CD,BC=CF,

RtBCGRtFCD,

BG=FD,

AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB,

即AF+2DF=AB.

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