题目内容
【题目】已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.
(1)若b=1,c=3,求n的值;
(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.
【答案】(1)5;(2)作图见解析.
【解析】试题分析:(1)代入,以及
点的坐标即可求得
的值;
(2)根据题意求得抛物线的解析式为从而求得点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x'2-4,然后利用5点式画出函数的图象即可.
试题解析:
(1) b=1,c=3,∴y=x2+x+3.
点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上,
n=4-2+3=5.
(2)解法一: A(-2,n),B(4,n)在抛物线y=x2+bx+c上,
∴b=-2.
顶点横坐标是-
=1,
故顶点为(1,-4).
-4=1-2+c,
c=-3,
P(x-1,x2-2x-3).
将点(x,x2-2x-3)向左平移一个单位得点P(x-1,x2-2x-3),
将点(x,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移一个单位后可得点P(x-1,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数图象.设p=x-1,q=x2-2x-3,则q=p2-4.其函数图象如下:
解法二:由抛物线的对称性,可知A(-2,n)与B(4,n)关于对称轴对称,则对称轴为直线x=-=1,∴b=-2.
又y=x2+bx+c的最小值是-4,
=-4,b2-4c=16,
c=-3.
y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故P(x-1,x2-2x-3).令x-1=x',则P(x-1,x2-2x-3)的纵坐标随横坐标变化的函数关系式为y=x'2-4,其纵坐标随横坐标变化的图象如下:
