Question

如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径作圆O交AB于点C，以线段AO为直径作弧OD交圆O于点D，过点B作AB的垂线交AD的延长线于点E，若线段AO、OD的长是一元二次方程x²-3x+2=0的两根．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求线段EB的长．

Answer 1

证明：（1）∵以线段AO为直径作弧OD交圆O于点D，
∴∠ODA=90°，即AE⊥OD．
∴AE是⊙O的切线；

（2）解方程：x₁=1，x₂=2，
∴OA=2，OD=1．
AD=．所以AB=3．
设EB=x，
则EB=ED=x．
x²+9=（x+）²
x=，即EB=．
分析：（1）欲证AE是切线，只需证AE⊥OD．根据直径所对的圆周角是直角易证；
（2）根据切线长定理得BE=ED；根据勾股定理易求AD的长；设BE=x．在Rt△ABE中，根据勾股定理得方程求解．
点评：①掌握切线的判定方法：经过半径的外端且垂直于该半径的直线是圆的切线．
②综合运用切线长定理和勾股定理解题，是圆中解直角三角形常用的方法．