Question

如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM，下列结论：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正确的有

①②③④

（填序号），并将正确的结论予以证明．

Answer 1

分析：分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案．

解答：证明：①在△APB和△CEB中

AB=BC ∠ABP=∠CBE BP=BE

∴△APB≌△CEB （SAS），
∴①AP=CE，故此选项正确；

②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
则∠PME=∠PBE=60゜，故此选项正确；

③作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中

∠BNP=∠BFE ∠NPB=∠FEB PB=EB

∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，故此选项正确；

④在BM上截取BK=CM，连接AK．
由②知∠PME=60゜=∠BAC，
∴∠MCA=∠MBA，
在△ABK和△ACM中

AB=AC ∠ABK=∠ACM BK=CM

，
∴△ACM≌△ABK，
∴AK=AM，
∴△AMK为等边△，故此选项正确；
故答案为：①②③④．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．