题目内容

阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)

请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为__________;
(2)求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若,则AD的长为__________.
(1)这个新的正方形的边长为a;(2)正方形MNPQ的面积为2;(3)AD的长为.

试题分析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形面积为a2,边长为a;
(2)如题图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积;
(3)参照小明的解题思路,对问题做同样的等积变换.如答图1所示,三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积,故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和.据此列方程求出AD的长度.
试题解析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为 a,
每个等腰直角三角形的面积为:a•a= a2,
则拼成的新正方形面积为:4×a2=a2,即与原正方形ABCD面积相等,
∴这个新正方形的边长为a;
(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2,
∴S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2;
(3)如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.

由题意易得:△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长.
不妨设等边三角形边长为a,则SF=AC=a.
如答图2所示,过点R作RM⊥SF于点M,则MF=SF=a,

在Rt△RMF中,RM=MF•tan30°= =a,
∴SRSF=a•a=a2
过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x,
则AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°= x,
∴SADS=SD•AN=x•x=x2
∵三个等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面积和=3SRSF=3×a2=a2,
∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,
=3×x2,得x2=,
解得x=或x=(不合题意,舍去)
∴x=,即AD的长为
练习册系列答案
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