Question

33、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△ABE∽△ACD；②△AED≌△AEF；③BE＜EF-DC；④BE²+DC²=DE²．
其中正确的选项是：

②④

（填序号）．

Answer 1

分析：首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得②正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；①无法判断，所以错误．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，BE²+BF²=EF²，BE＞EF-BF，
∴BE²+DC²=DE²；
∴BE＞EF-DC．
∴正确的选项是：②④．

点评：此题考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析．