题目内容

如图，正方形ABCD的边长为 $数学公式$ ，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
在△ABF和△ADF中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△ABF≌△ADF（SAS），

∴BF=DF；

（2）解：如图，过点F作FM⊥AB，
∵∠BAC=45°（正方形的对角线平分一组对角），
∴FM= $\text{[math]}$ AF= $\text{[math]}$ x，
∴y= $\text{[math]}$ AB•FM= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x=x，
∵E是边AD上的一个动点，
∴AF的最大值为 $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ =2，
∴自变量的取值范围是0＜x≤2，
故y与x的函数关系式为y=x（0＜x≤2），图象如图．
分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点F作FM⊥AB于点M，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出FM的长度，再利用三角形的面积公式列式整理即可得到y与x的函数关系式．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及作正比例函数图象，比较简单，（2）中作辅助线构造等腰直角三角形从而求出AB边上的高是解题的关键，要注意自变量的取值范围．