题目内容
【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,G为三角形外一点,且△GBC为等边三角形.
(1)求证:直线AG垂直平分BC;
(2)以AB为一边作等边△ABE(如图2),连接EG、EC,试判断△EGC是否构成直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)△EGC构成直角三角形
【解析】
(1)由GB=GC,得出点G在BC的垂直平分线上,同理得出点A在BC的垂直平分线上,即可得出结论;
(2)由等边三角形的性质得出GB=BC=GC, EB=BA,∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°,证出∠EBC=∠ABG,由SAS证明△EBC≌△ABG,得出∠ECB=∠AGB,再由等腰三角形的性质即可得出结论.
(1)∵△GBC为等边三角形,∴GB=GC,
∴点G在BC的垂直平分线上,
又∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴直线AG垂直平分BC;
(2)△EGC构成直角三角形,
∵△GBC和△ABE为等边三角形,
∴GB=BC=GC,EB=BA,∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG =60°,
∴∠EBC=∠ABG,∴△EBC≌△ABG ,
∴∠ECB=∠AGB,∵GB=GC且AG⊥BC,∴∠AGB=∠BGC=30°,
∴∠ECB=30°,
∴∠ECG=90°,即△EGC构成直角三角形.
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