Question

如图，反比例函数y=

k

x

的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，-1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）求由A、B、O三点构成的三角形面积；
（3）在反比例函数的图象上另找点P，使得点A、O、P构成的三角形面积与A、B、O三点构成的三角形面积相等，这样的点还有几个？请直接写出个数．

Answer 1

分析：（1）先把A（1，3）代入反比例函数解析式求出k，再把B（n，1）代入反比例函数解析式求出n，然后利用待定系数法确定一次函数y=mx+b的解析式；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC进行计算；
（3）设点P的坐标为：（a，

3

a

），讨论：①当点P在第一象限，且在A点的右侧，即a＞1，如图作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，易得S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，满足条件P点坐标为（3，1）；当点P在第一象限，且在A点的右侧，即0＜a＜1，S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，得到P点坐标为（

1

3

，3）；
②当点P在第三象限，即a＜0，PA交y轴于H点，利用待定系数法求出直线PA的解析式为y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，则H点坐标为（0，

3(a+1)

a

），得到S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，然后讨论H点在x轴上方或下方，去绝对值得到两个方程，解方程就可确定a的值，从而得到P点坐标．

解答：解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为：y=

3

x

；
把B（n，-1）代入y=

3

x

得，n=

3

-1

=-3，
∴点B的坐标为（-3，-1），
把A（1，3）、B（-3，-1）代入y=mx+b得

m+b=3 -3m+b=-1

，
解得

m=1 b=2

，
故一次函数的函数关系式为：y=x+2；
（2）对于y=x+2，令x=0，则y=3，
则C点坐标为（0，2），
则S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；
（3）设点P的坐标为：（a，

3

a

），
当点P在第一象限，且在A点的右侧，即a＞1，如图，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∵S_△AOP+S_△OPF=S_△AOE+S_梯形AEFP，
而S_△OPF=S_△AOE，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
∴a=3，此时P点坐标为（3，1）；
当点P在第一象限，且在A点的右侧，即0＜a＜1，
S_△AOP=S_梯形AEFP=

1

2

×（

3

a

+3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
则a=

1

3

，此时P点坐标为（

1

3

，3）；
当点P在第三象限，即a＜0，PA交y轴于H点，如图，
易求出直线PA的解析式为y=-

3

a

x+

3(a+1)

a

，
则H点坐标为（0，

3(a+1)

a

），
则S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH=

1

2

（-a）•|

3(a+1)

a

|+

1

2

×1×|

3(a+1)

a

|=4，
当H点在x轴上方，

1

2

（-a）•

3(a+1)

a

+

1

2

×1×

3(a+1)

a

=4，解得a₁=-3，a₂=

1

3

，
故a=-3，此时P点与B点重合；
当H点在x轴下方，

1

2

（-a）•[-

3(a+1)

a

]+

1

2

×1×[-

3(a+1)

a

]=4，解得a₁=3，a₂=-

1

3

，
则a=-

1

3

，此时P点坐标为（-

1

3

，-3），
故满足条件的P点有三个：（3，1），（

1

3

，3），（-

1

3

，-3）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，点的坐标满足其解析式；利用待定系数法求函数的解析式；运用分类讨论的方法去探究满足条件的点的个数．