Question

如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．

（1）求证：△DCF≌△ADG．
（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．

Answer 1

（1）证明见解析
（2）sinα=。

试题分析：（1）由正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，根据垂直的定义求出∠CFD=∠CFG=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，从而得到∠AGD=∠CFD，再根据同角的余角相等求∠ADG=∠DCF，然后利用“角角边”证明△DCF和△ADG全等即可。
（2）设正方形ABCD的边长为2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠ADG的正弦，即为α的正弦。　
解：（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠CFG=90°。
∵AG∥CF，∴∠AGD=∠CFG=90°。∴∠AGD=∠CFD。
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF。
∵在△DCF和△ADG中，∠AGD=∠CFD，∠ADG=∠DCF，AD=DC，
∴△DCF≌△ADG（AAS）。
（2）设正方形ABCD的边长为2a，
∵点E是AB的中点，∴AE=×2a=a。
在Rt△ADE中，，
∴。
∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=。