Question

如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km。

（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）。（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3. 49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer 1

（1）相等；（2）3.6 km

试题分析：（1）先根据题意证得EF＝BF，再根据SAS即可证明△AEF≌△ABF，从而求得结果；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H．设AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函数表示出HE与HF，从而可得到关于x的方程，解方程即可得解．
（1）相等
∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴EF＝BF．
又∵∠AFP＝60°，
∴∠BFA＝60°．
在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF，
∴AB＝AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足为H

设AE＝x，则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．
Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°
∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，
即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6km．
答：两个岛屿A和B之间的距离为3.6km．
点评：解直角三角形的应用是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握.