题目内容

【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且OB=3OC,点P是第一象限内的点,连接BC,PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形.

(1)求这个抛物线的表达式;

(2)求点P的坐标;

(3)点Q在x轴上,若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似,求点Q的坐标.

【答案】(1);(2)P(2,2);(3)(﹣4,0)或(﹣2,0).

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法即可得出结论;

(2)先判断出PMC≌△PNB,再用PC2=PB2,建立方程求解即可;

(3)先判断出点Q只能在点O左侧,再分两种情况讨论计算即可.

试题解析:(1)抛物线y=ax2﹣4ax+1,点C的坐标为(0,1).

OB=3OC,点B的坐标为(3,0),∴9a﹣12a+1=0,a=,∴

(2)如图,过点P作PMy轴,PNx轴,垂足分别为点M、N.

∵∠MPC=90°﹣CPN,NPB=90°﹣CPN,∴∠MPC=NPB.

PCM和PBN中,∵∠PMC=PNB,MPC=NPB,PC=PB∴△PMC≌△PNB,PM=PN.

设点P(a,a).

PC2=PB2a2+(a﹣1)2=(a﹣3)2+a2

解得a=2,∴P(2,2).

(3)该抛物线对称轴为x=2,B(3,0),A(1,0).

P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),PO=,AC=,AB=2.

∵∠CAB=135°,POB=45°,在RtBOC中,tanOBC=∴∠OBC45°,OCB90°,在RtOAC中,OC=OA,∴∠OCA=45°,∴∠ACB45°,OPQ与ABC相似时,点Q只有在点O左侧时.

(i)当时,OQ=4,Q(﹣4,0).

(ii)当时,OQ=2,Q(﹣2,0).

当点Q在点A右侧时,综上所述,点Q的坐标为(﹣4,0)或(﹣2,0).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网