题目内容
如图,∠B=∠D=Rt∠,AB=CD=b,BC=DE=a,AC=c,
(1)请问△ACE是否为等腰直角三角形?请说明理由.
(2)请你通过两种不同方法计算梯形ABDE的面积,并利用计算的结果验证勾股定理a2+b2=c2
(3)你能运用上面图形中若干个Rt△ABC构造出另一种证明勾股定理的图形吗?请画出构造后的示意图.(无需证明)
(1)请问△ACE是否为等腰直角三角形?请说明理由.
(2)请你通过两种不同方法计算梯形ABDE的面积,并利用计算的结果验证勾股定理a2+b2=c2
(3)你能运用上面图形中若干个Rt△ABC构造出另一种证明勾股定理的图形吗?请画出构造后的示意图.(无需证明)
分析:(1)利用“SAS”证明Rt△ABC与Rt△CDE全等,再根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠CED,全等三角形对应边相等可得AC=CE,然后求出∠ACE=90°,从而得证;
(2)根据图形的面积可以用梯形的面积求解,也可以用三个直角三角形的面积求解,然后整理即可得解;
(3)可以拼接成以两直角边的和为边长的大正方形,也可以拼接成以斜边为边长的大正方形解答.
(2)根据图形的面积可以用梯形的面积求解,也可以用三个直角三角形的面积求解,然后整理即可得解;
(3)可以拼接成以两直角边的和为边长的大正方形,也可以拼接成以斜边为边长的大正方形解答.
解答:解:(1)在Rt△ABC与Rt△CDE中,
∵
,
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(SAS),
∴∠ACB=∠CED,AC=CE=c,
∵∠CED+∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形;
(2)∵S梯形=
(a+b)(a+b)=
(a+b)2,S梯形=2×
ab+
c2,
∴
(a+b)2=2×
ab+
c2,
整理得,a2+b2=c2;
(3)如图所示,此题答案不唯一.
∵
|
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(SAS),
∴∠ACB=∠CED,AC=CE=c,
∵∠CED+∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形;
(2)∵S梯形=
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∴
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整理得,a2+b2=c2;
(3)如图所示,此题答案不唯一.
点评:本题考查了勾股定理的证明,全等三角形的判定与性质,此类题目最常用的方法是根据图形的面积可以用不同列法表示,然后根据同一个图形的面积相等列式整理从而得证.
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