题目内容
【题目】如图,已知抛物线的对称轴为直线
,且抛物线与
轴交于
、
两点,与
轴交于
点,其中
,
.
(1)若直线经过
、
两点,求直线
和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点
,使点
到点
的距离与到点
的距离之和最小,求出点
的坐标;
(3)设点为抛物线的对称轴
上的一个动点,求使
为直角三角形的点
的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为,直线的解析式为
.(2)
;(3)
的坐标为
或
或
或
.
【解析】
(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
(1)依题意得:,解得:
,
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为,且抛物线经过
,
∴把、
分别代入直线
,
得,解之得:
,
∴直线的解析式为
.
(2)直线与对称轴
的交点为
,则此时
的值最小,把
代入直线
得
,
∴.即当点
到点
的距离与到点
的距离之和最小时
的坐标为
.
(注:本题只求坐标没说要求证明为何此时
的值最小,所以答案未证明
的值最小的原因).
(3)设,又
,
,
∴,
,
,
①若点为直角顶点,则
,即:
解得:
,
②若点为直角顶点,则
,即:
解得:
,
③若点为直角顶点,则
,即:
解得:
,
.
综上所述的坐标为
或
或
或
.

练习册系列答案
相关题目