Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，DC=a+b，且b＞a，点M是AB边的中点．
（1）求证：CM⊥DM；
（2）求点M到CD边的距离．（用含a，b的式子表示）

Answer 1

分析：（1）延长DM，CB交于点E，求出∠ADM=∠BEM，AM=BM证△ADM≌△BEM，推出AD=BE=a，DM=EM，求出CE=DC，即可得出答案；
（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F，求出MN=MB，四边形ABFD为矩形．推出BF=AD=a，AB=DF，根据勾股定理得出DF²=DC²-FC²=（a+b）²-（b-a）²=4ab．求出DF=2

ab

，代入MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF求出即可．

解答：证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图1）
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM，
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，

∠ADM=∠BEM ∠AMD=∠BME AM=BM

，
∴△ADM≌△BEM．
∴AD=BE=a，DM=EM，
∴CE=CB+BE=b+a．
∵CD=a+b，
∴CE=CD．
∴CM⊥DM．

（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图2）
∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD，
∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，
∴MN=MB，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°，
∵∠DFB=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴BF=AD=a，AB=DF，
∴FC=BC-BF=b-a，
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴DF²=DC²-FC²=（a+b）²-（b-a）²=4ab，
∴DF=2

ab

，
∴MN=MB=

1

2

AB=

1

2

DF=

ab

，
即点M到CD边的距离为

ab

．

点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．