Question

【题目】如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

（1）求证：AC为⊙O切线．

（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连结OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；

（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝＝3，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解（1）证明：连结OA，

∴∠AOE＝2∠F，

∵∠BEF＝2∠F，

∴∠AOE＝∠BEF，

∴AO∥DF，

∵DF⊥AC，

∴OA⊥AC，

∴AC为⊙O切线；

（2）解：连接OF，

∵∠BEF＝2∠F，

∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，

∴∠BAF＝∠BEF＝2α，

∵∠B＝∠AFE＝α，

∴∠BAO＝∠B＝α，

∴∠OAF＝∠BAO＝α，

∵OA＝OF，

∴∠AFO＝∠OAF＝α，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴AB＝AF＝5，

∵DF＝4，

∴AD＝＝3，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FDA，

∵∠B＝∠AFD，

∴△ABE∽△DFA，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝，

∴⊙O半径＝．