题目内容
【题目】如图，点C是线段AB上一点，分别以AC和BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和△BCE，连结AE和BD，相交于点F.
（1）求证：AE=BD；
（2）如图2.固定△BCE不动，将等边△ACD绕点C旋转（△ACD和△BCE不重叠），试问∠AFB的大小是否变化?请说明理由；
（3）在△ACD旋转的过程中，以下结论：①CG=CH；② GF=HF； ③FC平分分∠GCH；④FC平分∠GFH；一定正确的有 （填写序号，不要求证明）
【答案】（1）见解析；（1）∠AFB的大小不变，理由见解析；（3）④
【解析】
(1)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠BCD，进而利用SAS得出△ACE≌△DCB进而得出答案；
(2)由△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-∠ACD=120°．
(3)根据等边三角形的性质，全等的判定与性质以及角平分线判定定理依次判断.
（1）证明：∵根据等边三角形的性质，可得∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：∠AFB的大小不变，理由如下：
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB，
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE，
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF，
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE，
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC.
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD，
∴∠AFB=180°-∠ACD，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFB=120°.
所以∠AFB的大小不变.
（3）①②③在图1特殊情况下才成立，不一定正确；
④如图，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△ACE≌△DCB，
∴BD=CE, S△ACE=S△DCB.
∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等，
即CM=CN，
∴点C在∠AFB的角平分线上，
即FC平分∠GFH，故④正确.
