题目内容

【题目】定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫潜力三角形.如图,在ABC中,∠B=90°,DAB的中点,ECD的中点,DFAEBC于点F.

(1)设潜力三角形较短直角边长为a,斜边长为c,请你直接写出的值为   

(2)若∠AED=DCB,求证:BDF潜力三角形”;

(3)若BDF潜力三角形,且BF=1,求线段AC的长.

【答案】(1)2或;(2)证明见解析;(3)5或

【解析】试题分析:(1)分两种情况:①当时,2;②设另一条直角边长为b,当时,b=2a,由勾股定理求出c=,得出;即可得出答案;

(2)延长AEBCG,由平行线的性质得出∠AED=∠CDF,BF=GF,再由已知得出∠CDF=∠DCB,证出DF=CF,由平行线得出CG=GF,得出BF=GF=CG,因此DF=CF=2GF=2BF,得出,即可得出结论;

(3)分四种情况:①当时;②当时;③当时;④当时;求出BC=3,分别求出AB的长,由勾股定理求出AC即可.

试题解析:(1)分两种情况:

①当时,2

②设另一条直角边长为b,当时,b=2a,

∵∠B=90°,

∴c=

(2)证明:延长AE交BC于G,如图所示:

∵DF∥AE,D是AB的中点,

∴∠AED=∠CDF,BF=GF,

∵∠AED=∠DCB,

∴∠CDF=∠DCB,

∴DF=CF,

∵DF∥AE,E是CD的中点,

∴CG=GF,

∴BF=GF=CG,

∴DF=CF=2GF=2BF,

又∵∠B=90°,

∴△BDF是“潜力三角形”;

(3)延长AE交BC于G,如图所示.

分四种情况:

①当时,

∵BF=1,

∴GF=CG=BF=1,BD=2,

∴AB=2BD=4,BC=3,

∴AC=

②当时,DF=2BF=2,

∴BD=

∴AB=2BD=2

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC=

③当时,BD=BF=

∴AB=2BD=1,

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC=

④当时,

设BD=x,则DF=2x,

由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12

解得:x=

∴AB=2BD=

∵BC=3,∠B=90°,

∴AC=

综上所述:若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,线段AC的长为5或

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