题目内容
【题目】定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中点,E是CD的中点,DF∥AE交BC于点F.
(1)设“潜力三角形”较短直角边长为a,斜边长为c,请你直接写出的值为 ;
(2)若∠AED=∠DCB,求证:△BDF是“潜力三角形”;
(3)若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,求线段AC的长.
【答案】(1)2或;(2)证明见解析;(3)5或或或.
【解析】试题分析:(1)分两种情况:①当时,2;②设另一条直角边长为b,当时,b=2a,由勾股定理求出c=,得出;即可得出答案;
(2)延长AE交BC于G,由平行线的性质得出∠AED=∠CDF,BF=GF,再由已知得出∠CDF=∠DCB,证出DF=CF,由平行线得出CG=GF,得出BF=GF=CG,因此DF=CF=2GF=2BF,得出,即可得出结论;
(3)分四种情况:①当时;②当时;③当时;④当时;求出BC=3,分别求出AB的长,由勾股定理求出AC即可.
试题解析:(1)分两种情况:
①当时,2;
②设另一条直角边长为b,当时,b=2a,
∵∠B=90°,
∴c=,
∴;
(2)证明:延长AE交BC于G,如图所示:
∵DF∥AE,D是AB的中点,
∴∠AED=∠CDF,BF=GF,
∵∠AED=∠DCB,
∴∠CDF=∠DCB,
∴DF=CF,
∵DF∥AE,E是CD的中点,
∴CG=GF,
∴BF=GF=CG,
∴DF=CF=2GF=2BF,
∴,
又∵∠B=90°,
∴△BDF是“潜力三角形”;
(3)延长AE交BC于G,如图所示.
分四种情况:
①当时,
∵BF=1,
∴GF=CG=BF=1,BD=2,
∴AB=2BD=4,BC=3,
∴AC=;
②当时,DF=2BF=2,
∴BD=
∴AB=2BD=2,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
③当时,BD=BF=,
∴AB=2BD=1,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
④当时,
设BD=x,则DF=2x,
由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12,
解得:x=,
∴AB=2BD=,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC=;
综上所述:若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,线段AC的长为5或或或.
【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD,OE与AB交于点F.
(1)试判断四边形AEBO的形状,并说明理由;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面积.
【题目】某校七年级举行“数学计算能力”比赛,比赛结束后,随机抽查部分学生的成绩,根据抽查结果绘制成如下的统计图表
组别 | 分数x | 频数 |
A | 40≤x<50 | 20 |
B | 50≤x<60 | 30 |
C | 60≤x<70 | 50 |
D | 70≤x<80 | m |
E | 80≤x<90 | 40 |
根据以上信息解答下列问题:
(1)共抽查了 名学生,统计图表中,m= ,请补全直方图;
(2)求扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数;
(3)若七年级共有800名学生,分数不低于60分为合格,请你估算本次比赛全年级合
格学生的人数