题目内容

【题目】(本小题满分11分)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.

(1)如图1,ABC中,B=2C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是ABC的一条特异线;

(2)如图2,若ABC是特异三角形,A=30°,B为钝角,求出所有可能的B的度数.

【答案】见解析

【解析】(1)如图1中,

DE是线段AC的垂直平分线,EA=EC,即EAC是等腰三角形,(2分)

∴∠EAC=C,∴∠AEB=EAC+C=2C,

∵∠B=2C,∴∠AEB=B,即EAB是等腰三角形,(4分)

AE是ABC一条特异线.(5分)

(2)如图2中,

当BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则ABC=ABD+DBC=120°+15°=135°,

如果AD=AB,DB=DC,则ABC=ABD+DBC=75°+37.5°=112.5°,

如果AD=DB,DC=CB,则ABC=ABD+DBC=30°+60°=90°(不合题意).(8分)

如图3中,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,则ABC=180°–20°–20°=140°,(9分)

当CD为特异线时,不合题意.(10分)

符合条件的ABC的度数为135°或112.5°或140°.(11分)

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