题目内容
已知：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=2
，BC=2，求⊙O的半径．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=2
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（1）证明：连接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
则BP为圆O的切线；
（2）设圆的半径为r，则AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根据勾股定理得：AB=
=2
，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴
=
，即
=
，
解得：r=2．
则圆的半径为2．
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
则BP为圆O的切线；
（2）设圆的半径为r，则AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根据勾股定理得：AB=
| AC2-BC2 |
| r2-1 |
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴
| PA |
| OC |
| AB |
| BC |
2
| ||
| r |
2
| ||
| 2 |
解得：r=2．
则圆的半径为2．
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