题目内容

【题目】如图(1),E是直线AB、CD内部一点,AB∥CD,连接EA、ED.

(1)探究:

①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?

②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?

③在图(1)中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么数量关系,并证明你的结论.

(2)拓展:如图(2),射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的四个区域(不含边界,其中③④位于直线AB的上方),P是位于以上四个区域上点,猜想:∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系.(不要求证明)

【答案】(1)①∠AED=70°;

②∠AED=80°;

猜想:AED=EAB+EDC,证明见解析

(2)点P在区域①时,∠EPF=360°﹣(∠PEB+PFC);

点P在区域时,EPF=PEB+PFC;

点P在区域时,EPF=PEB﹣PFC;

P在区域④时,∠EPF=PFC﹣∠PEB

【解析】(1)①根据图形猜想得出所求角度数即可;
②根据图形猜想得出所求角度数即可;
③猜想得到三角关系,理由为:延长AE与DC交于F点,由AB与DC平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再利用外角性质及等量代换即可得证;
(2)分四个区域分别找出三个角关系即可.

解:(1)①∠AED=70°

②∠AED=80°

③猜想:∠AED=EAB+EDC

证明:延长AEDC于点F

ABDC

∴∠EAB=EFD

∵∠AEDEDF的外角,

∴∠AED=EDF+EFD=EAB+EDC

2)根据题意得:

P在区域①时,∠EPF=360°﹣(∠PEB+PFC);

P在区域②时,∠EPF=PEB+PFC

P在区域③时,∠EPF=PEB﹣∠PFC

P在区域④时,∠EPF=PFC﹣∠PEB

“点睛”此题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.

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