Question

【题目】如图，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，OB=8，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（ ）

A.7
B.8
C.9
D.10

Answer 1

【答案】C
【解析】解：取AB的中点S，连接MS、PS，

则PM≤MS+PS，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC=∠OAD，
∴∠OBP+∠OAD=180°，
∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，
∴PS=AB=5，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS=OB=4，
∴MP的最大值是4+5=9，
故选：C．
取AB的中点S，连接MS，PS，则当M,S,P共线时，MP的值最大，易得MS为三角形ABO的中位线，可求得MS的长；.根据已知相似的条件，推出△COB∽△DOA，则∠OBC=∠OAD，∠OBP+∠OAD=180°，从而得∠APB=∠AOB=90°，则可求得PS的长度.