Question

如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S_△AFG=S_△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

A
分析：灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析．
解答：①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S_△AFG=S_△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180度．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140度．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的．
故选A．
点评：此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念．