题目内容
设实数a,b,c满足:1 |
a |
1 |
b |
1 |
c |
1 |
a+b+c |
1 |
a2n-1 |
1 |
b2n-1 |
1 |
c2n-1 |
1 |
a2n-1+b2n-1+c2n-1 |
分析:直接通分,将分式等式转化为整式等式,再因式分解得到(b+c)(a+b)(a+c)=0,可知其中至少有一个因式为0.
解答:证明:∵
+
+
=
∴
=
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc
∴(b+c)a2+(2bc+c2+b2)a+bc2+b2c=0
即(b+c)a2+(b+c)2a+(b+c)bc=0
(b+c)(a2+ab+ac+bc)=0
∴(b+c)(a+b)(a+c)=0
∴b=-c或a=-b或a=-c
若b=-c,当n为自然数时,2n-1为奇数,b2n-1+c2n-1=0,且
+
=0,即命题得证.
同理:当a=-b,或a=-c时,原命题成立.
1 |
a |
1 |
b |
1 |
c |
1 |
a+b+c |
∴
ac+bc+ab |
abc |
1 |
a+b+c |
bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc
∴(b+c)a2+(2bc+c2+b2)a+bc2+b2c=0
即(b+c)a2+(b+c)2a+(b+c)bc=0
(b+c)(a2+ab+ac+bc)=0
∴(b+c)(a+b)(a+c)=0
∴b=-c或a=-b或a=-c
若b=-c,当n为自然数时,2n-1为奇数,b2n-1+c2n-1=0,且
1 |
b2n-1 |
1 |
c2n-1 |
同理:当a=-b,或a=-c时,原命题成立.
点评:本题考查了分式加减运算的运用,先通分,去分母,将分式等式转化为整式等式,再运用因式分解的知识解题.
练习册系列答案
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设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是( )
A、
| ||
B、|b| | ||
C、c-a | ||
D、-c-a |