Question

设实数a，b，c满足a²+b²+c²=1．
（1）若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；
（2）求（a+b+c）²的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a+b+c=0两边平方，然后展开得到a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，再把a²+b²+c²=1代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式得到（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，由（a-b）²≥0，即2ab≤a²+b²，于是有（a+b+c）²≤a²+b²+c²+a²+b²+b²+c²+a²+c²，然后把a²+b²+c²=1代即可得到（a+b+c）²的最大值．

解答：解：（1）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，
∴a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，
而a²+b²+c²=1，
∴ab+bc+ca=-

1

2

；
（2）∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
而（a-b）²≥0，即2ab≤a²+b²，
同理有2bc≤b²+c²，2ac≤a²+c²，
∴（a+b+c）²≤a²+b²+c²+a²+b²+b²+c²+a²+c²，
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），
而a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²≤3，
∴（a+b+c）²的最大值为3．

点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．也考查了（a-b）²的非负性质以及代数式的变形能力．