题目内容
设实数x,y,z满足x+y+z=0,且(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≤2,求x的最大值和最小值.分析:首先把x+y+z=0变为z=-x-y,然后代入(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≤2中,化简为3y2+3xy+3x2-1≤0,可以看作关于y的不等式,然后利用判别式即可解决问题.
解答:解:∵实数x,y,z满足x+y+z=0,
∴z=-x-y,
将z=-x-y代入(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≤2中,
化简得3y2+3xy+3x2-1≤0,
∵x,y,z为实数,
∴△=9x2-12(3x2-1)≥0,
∴-
≤x≤
,
当xmax=
,此时y=z=-
,
当xmin=-
,此时y=z=
.
∴x的最大值和最小值分别为
和-
.
∴z=-x-y,
将z=-x-y代入(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≤2中,
化简得3y2+3xy+3x2-1≤0,
∵x,y,z为实数,
∴△=9x2-12(3x2-1)≥0,
∴-
2 |
3 |
2 |
3 |
当xmax=
2 |
3 |
1 |
3 |
当xmin=-
2 |
3 |
1 |
3 |
∴x的最大值和最小值分别为
2 |
3 |
2 |
3 |
点评:此题主要考查了一元二次不等式的应用,解题的关键是把已知不等式变为关于某一个未知数的不等式,然后利用判别式即可解决问题.
练习册系列答案
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设实数a、b、c满足a<b<c (ac<0),且|c|<|b|<|a|,则|x-a|+|x-b|+|x+c|的最小值是( )
A、
| ||
B、|b| | ||
C、c-a | ||
D、-c-a |