题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=a(x+2)(x﹣4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)该二次函数图象上有一点P(x,y)使得S△BCD=S△ABP,求点P的坐标;
(3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,求2AF+DF的最小值.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣;(2)(,)或(,);(3)
【解析】
(1)求出点D的坐标,利用待定系数法求出a的值即可.
(2)如图1中,设直线BD交y轴于J,则J(0,).连接CD,BC.由S△PAB=10,推出×6×|yP|=10,推出yP=,再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可.
(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,首先证明∠BDM=∠DBA=30°,过F作FJ⊥DM于J,则有sin30°=,推出HF=,推出2AF+DF=2(AF+)=2(AF+HF),当A、F、H三点共线时,即AH⊥DM时,2AF+DF=2(AF+HF)取最小值.
解:(1)抛物线y=a(x+2)(x﹣4),令y=0,解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0).
∵直线y=,
当x=﹣5时,y=
∴D(﹣5,),
∵点D(﹣5,3)在抛物线y=a(x+2)(x﹣4)上,
∴a(﹣5+2)(﹣5﹣4)=,
∴a=.
∴抛物线的函数表达式为:y=.
(2)如图1中,设直线BD交y轴于J,则J(0,).连接CD,BC.
∵S△BDC=
∴S△PAB=,
∴×6×|yP|=
yP=,
当y=时, ,
解得x=,
∴P或,
当
方程无解,
∴满足条件的点P的坐标为或.
(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,作FH⊥DM于H,
∵D,B(4,0),
∴tan∠DBA=,
∴∠DBA=30°
∴∠BDM=∠DBA=30°,过F作FJ⊥DM于J,
则有sin30°=,
∴,
∴2AF+DF=2(AF+)=2(AF+HF),当A、F、H三点共线时,
即AH⊥DM时,2AF+DF=2(AF+HF)取最小值.