题目内容

【题目】如图,已知抛物线yax+2)(x4)(a为常数,且a0)与x轴从左至右依次交于AB两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+抛物线的另一交点为D,且点D的横坐标为﹣5

1)求抛物线的函数表达式;

2)该二次函数图象上有一点Pxy)使得SBCDSABP,求点P的坐标;

3)设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,求2AF+DF的最小值.

【答案】1yx2x;(2()();(3

【解析】

1)求出点D的坐标,利用待定系数法求出a的值即可.

2)如图1中,设直线BDy轴于J,则J0).连接CDBC.由SPAB10,推出×6×|yP|10,推出yP,再利用待定系数法构建方程求出点P的坐标即可.

3)如图2中,过点DDM平行于x轴,首先证明∠BDM=∠DBA30°,过FFJDMJ,则有sin30°,推出HF,推出2AF+DF2AF+)=2AF+HF),当AFH三点共线时,即AHDM时,2AF+DF2AF+HF)取最小值.

解:(1)抛物线yax+2)(x4),令y0,解得x=﹣2x4

A(﹣20),B40).

∵直线y

x=﹣5时,y

D(﹣5),

∵点D(﹣53)在抛物线yax+2)(x4)上,

a(﹣5+2)(﹣54)=

a

∴抛物线的函数表达式为:y

2)如图1中,设直线BDy轴于J,则J0).连接CDBC

SBDC

SPAB

×6×|yP|

yP

y时,

解得x

P

方程无解,

∴满足条件的点P的坐标为

(3)如图2中,过点D作DM平行于x轴,作FH⊥DM于H,

DB40),

tanDBA

∴∠DBA30°

∴∠BDM=∠DBA30°,过FFJDMJ

则有sin30°

2AF+DF2AF+)=2AF+HF),当AFH三点共线时,

AHDM时,2AF+DF2AF+HF)取最小值

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