Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象与x轴的正半轴交于A 、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．点A和点B间的距离为2， 若将二次函数的图象沿y轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x轴两交点间的距离为4．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设二次函数的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，（2，3）；（3）存在，（-1，0）或（5，0）．

解析试题分析：（1）根据平移的性质，得到对称轴承，从而由求得A，B的坐标，应用待定系数法即可求得二次函数的表达式．
（2）根据轴对称的性质，知直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点，因此求出直线AC的方程，即可求得点P坐标．
（3）首先证明△BCD是直角三角形并求出BC，BD的值，得到，从而只要求出使时点F的坐标即可．
试题解析：（1）∵平移后的函数图象过原点且与x轴两交点间的距离为4，
∴平移后的函数图象与x轴两交点坐标为（0，0）,(4,0)或（0，0），（-4，0）．
∴它的对称轴为直线x=2或x=-2．
∵抛物线与x轴的正半轴交于A、B两点，
∴抛物线关于直线x=2对称．
∵它与x轴两交点间的距离为2，且点A 在点B的左侧，
∴其图象与x轴两交点的坐标为A（1，0）、B(3,0)．
由题意知，二次函数的图象过C（0，-3），
∴设．
∴，解得．
∴二次函数的表达式为．
（2）∵点B关于直线x=2的对称点为A（1，0），
设直线AC的解析式为，
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点．
∵当x=2时，y=3，∴点P的坐标为（2，3） ．
（3）在x轴上存在这样的点F，使得， 理由如下：
抛物线的顶点D的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为点E，
在中，∵，∴．
在中，∵，∴．
∴．
在中，∵，∴．
∵轴，，∴．
∵E（2，0），
∴符合题意的点F的坐标为F₁（-1，0）或F₂（5，0）．

考点：1．二次函数综合题；2．平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．轴对称的应用（距离差最大问题）；6．二次函数的性质；7．锐角三角函数定义；8．分类思想的应用．