题目内容

(2013•西城区一模)先阅读材料,再解答问题:
小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均为⊙O上的点,则有∠C=∠D.小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论,解答下列问题:

(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(3,0).
①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在x轴的正半轴上有一点D,且∠ACB=∠ADB,则点D的坐标为
(7,0)
(7,0)

(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),其中m>n>0.点P为x轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.
分析:(1)①作出△ABC的两边的中垂线的交点,即可确定圆心,则外接圆即可作出;
②D就是①中所作的圆与x轴的正半轴的交点,根据作图写出坐标即可;
(2)当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时,对应的∠APB最大,根据垂径定理和勾股定理即可求解.
解答:解:(1)①

②根据图形可得,点D的坐标是(7,0);

(2)当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时,作CD⊥y轴,连接CP、CB.
∵A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),
∴D的坐标是(0,
m+n
2
),即BC=PC=
m+n
2

在直角△BCD中,BC=
m+n
2
,BD=
m-n
2

则CD=
BC2-BD2
=
mn

则OP=CD=
mn

故P的坐标是(
mn
,0).
点评:本题考查了垂径定理以及勾股定理,正确理解当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时,对应的∠APB最大,是关键.
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