题目内容
（2013•西城区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点P在△ABC的内部．
（1）如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=
，△PMN周长的最小值为
（2）如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=
，PB=
，PC=1，求△ABC的面积；
（3）若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接写出∠APB的度数．
（1）如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=
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3
3
；（2）如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=
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（3）若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接写出∠APB的度数．
分析：（1）利用锐角三角函数关系以及利用轴对称求最短路线进而得出，△PMN的周长最小值等于P′P″的长，分别求出即可；
（2）首先分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC，进而得出∠DFE=90°，由S多边形BDAFE=2S△ABC=S△DBE+S△DFE+S△DAF，求出即可；
（3）作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，分别表示出∠1，∠2，∠3进而得出答案．
（2）首先分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC，进而得出∠DFE=90°，由S多边形BDAFE=2S△ABC=S△DBE+S△DFE+S△DAF，求出即可；
（3）作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，分别表示出∠1，∠2，∠3进而得出答案．
解答：解：（1）∵AB=2AC，PB=3，∠ACB=90°，∠ABC=α，
∴sinα=
，
∴α=30°，
∴cosα=
，
如图1，作P点关于AB以及BC的对称点P′，P″，
∴BP=BP″=BP′，△PMN的周长最小值等于P′P″的长，
∵∠ABC=30°，
∴∠P′BP″=60°，
∴△BP′P″是等边三角形，
∴BP′=BP″=3，
∴△PMN周长的最小值为：3；
故答案为：
，3；
（2）如图2，分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．
∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF．
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°．
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线．
∴DE=BD=BP=
，EF=CE+CF=2CP=2．
∵△ADF中，AD=AF=
，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°．
∴DF=
AD=
．
∴EF2+DF2=10=DE2．
∴∠DFE=90°．
∵S多边形BDAFE=2S△ABC=S△DBE+S△DFE+S△DAF，
∴2S△ABC=
×(
)2+
×
×2+
×
×
=3
+
．
∴S△ABC=
．
（3）∠APB=150°．
理由：如图2，作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，
由（2）知∠DBE=2α，∠DAF=180°-2α．
∵BD=BE=n，AD=AF=m，
∴∠DBM=α，∠DAN=90°-α．
∴∠1=90°-α，∠3=α．
∴DM=nsinα，DN=mcosα．
∴DE=DF=EF．
∴∠2=60°．
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°．
∴sinα=
| 1 |
| 2 |
∴α=30°，
∴cosα=
| ||
| 2 |
如图1，作P点关于AB以及BC的对称点P′，P″，
∴BP=BP″=BP′，△PMN的周长最小值等于P′P″的长，
∵∠ABC=30°，
∴∠P′BP″=60°，
∴△BP′P″是等边三角形，
∴BP′=BP″=3，
∴△PMN周长的最小值为：3；
故答案为：
| ||
| 2 |
（2）如图2，分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．
∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF．
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°．
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线．
∴DE=BD=BP=
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∵△ADF中，AD=AF=
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∴∠ADF=∠AFD=30°．
∴DF=
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∴EF2+DF2=10=DE2．
∴∠DFE=90°．
∵S多边形BDAFE=2S△ABC=S△DBE+S△DFE+S△DAF，
∴2S△ABC=
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∴S△ABC=
3
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（3）∠APB=150°．
理由：如图2，作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，
由（2）知∠DBE=2α，∠DAF=180°-2α．
∵BD=BE=n，AD=AF=m，
∴∠DBM=α，∠DAN=90°-α．
∴∠1=90°-α，∠3=α．
∴DM=nsinα，DN=mcosα．
∴DE=DF=EF．
∴∠2=60°．
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°．
点评：此题主要考查了几何变换综合以及锐角三角函数关系以及等边三角形的判定等知识，利用轴对称得出等边三角形是解题关键．
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