题目内容

已知如图，直线AE：y=3x+12交x轴于E点，交y轴于A点，再把△AOE沿着AE翻折，使得AO落在AD的位置，设直线AD交轴x于点B，P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动，设点P的运动时间为t．
（1）求直线AD的解析式；
（2）设△PDE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（3）连接DP，设直线DP交直线AE于点Q，当直线DP与直线AE的夹角的正切为 $数学公式$ 时，求t的值，并判断此时以P点为圆心，以 $数学公式$ 为半径的圆与直线AE的位置关系．

解：（1）由直线y=3x+12可知
当x=0时，y=12，即点A的坐标为（0，12）
当y=0时，x=-4，即点E的坐标为（-4，0）
则OE=4，0A=12
∵△ADE是△AOE沿着AE翻折所得
∴ED=EO=4，AD=AO=12，∠EDA=∠EOA=∠EDB=90°
∵∠ABO=∠EBD，∠EDB=∠AOB
∴△EDB∽△AOB
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AB=3BE
∴BD=AB-AD=3BE-12
∵OB=BE+OE=BE+4 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴BE=5 OB=9 BD=3
即点B的坐标为（-9，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（0，12），B（-9，0）代入得：k= $\text{[math]}$ ，b=12
∴y= $\text{[math]}$ x+12

（2）过点D作DF⊥OB于点F，由（1）可知BD=3 ED=4
∴BE=5
在Rt△BDE中DF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
①当点P在点E，B之间时，BP=t，PE=5-t
S= $\text{[math]}$ PE•DF= $\text{[math]}$ （5-t）× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t+6（0≤t＜5）

②当点P在点E，O之间时，PE=t-5
S= $\text{[math]}$ PE•DF= $\text{[math]}$ （t-5）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t-6（5≤t＜9）

③由直线AD的解析式y= $\text{[math]}$ x+12可知，当y= $\text{[math]}$ 时，x=- $\text{[math]}$ ，即点D的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
当点P在线段OA上时，OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t
S=S_{四边形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE- $\text{[math]}$ ×OP•OE- $\text{[math]}$ ×AP•OF=48- $\text{[math]}$ （t-9）×4- $\text{[math]}$ ×（21-t）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
（9≤t≤21）

（3）连接OD，教AE于点N
∵点D，O关于直线AE对称
∴AE⊥OD DN=ON    AE= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$
∴Rt△ANO∽Rt△ONE∽Rt△AOE
∴AN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$     EN=AE-AN=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ON=DN= $\text{[math]}$ AN= $\text{[math]}$
∵tan∠DQN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴NQ=2DN= $\text{[math]}$
①当点P在直线AE左侧时，过点P做PG⊥AE于G，则QG=2PG
∵∠GPE=∠OAE
∴tan∠GPE=tan∠OAE= $\text{[math]}$
∴GE= $\text{[math]}$ PG
∴QE=QG+GE=2PG+ $\text{[math]}$ PG= $\text{[math]}$ PG
又∵QE=QN-NE=2 $\text{[math]}$
∴PG= $\text{[math]}$ GE= $\text{[math]}$
∴PE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又∵PE=5-t
∴5-t= $\text{[math]}$ 即t= $\text{[math]}$
∵PG= $\text{[math]}$
∴当t= $\text{[math]}$ 时，以P点为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与直线AE相切．

②当点P在直线AE右侧时，过点P作PM⊥AE于点M
∵tan∠MQP=tan∠DQN= $\text{[math]}$
∴MQ=2PM
∵tan∠PAM= $\text{[math]}$
∴AM=3PM
∴AQ=2PM+3PM=5PM
又∵AQ=AN-QN= $\text{[math]}$
∴5PM= $\text{[math]}$ 即PM= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴AD= $\text{[math]}$ PM= $\text{[math]}$
又∵AP=21-t
∴21-t= $\text{[math]}$ 即t= $\text{[math]}$
∴当t= $\text{[math]}$ 时，以P点为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与直线AE相交．

分析：（1）先根据直线y=3x+12求出点A，E的坐标从而求出OE=4，0A=12，再△ADE是△AOE沿着AE翻折所得，求出ED=4，AD=12，∠EDB=90°，然后根据△EDB∽△AOB求出BE=5，得到点B的坐标为（-9，0），利用待定系数法即可求出直线AD的解析式为y= $\text{[math]}$ x+12．
（2）由于P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动，所以当点P分别在线段BE，OE，OA上时，△PDE的面积的求法不同，所以必须分三种情况讨论．
当点P在线段BE，OE时，利用三角形的面积公式来表示所求三角形的面积，所以就需要作△PDE的高，故过点D作DF⊥OB于点F，则有△PDE的面积S= $\text{[math]}$ PE•DF，此时PE有两种表示情况：①PE=5-t，②PE=t-5，所以可求出S的两种情况，当点P在线段OA上时，△PDE的面积S=S_{四边形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE- $\text{[math]}$ ×OP•OE- $\text{[math]}$ ×AP•OF，此时OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t，代入即可求得S的第三种情况．
（3）根据直线DP与直线AE的夹角的正切为 $\text{[math]}$ ，可知tan∠DQN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，满足这个条件的点P有两个，分别在直线AE的左右两侧．利用点D，O关于直线AE对称，连接OD，可得AE⊥OD，DN=ON，AE=4 $\text{[math]}$ ，从而求出AN= $\text{[math]}$ ，EN=AE-AN= $\text{[math]}$ ，ON= $\text{[math]}$ ，NQ=2DN= $\text{[math]}$ ，分两种情况讨论：①当点P在直线AE左侧时，过点P做PG⊥AE于G，则QG=2PG，根据tan∠GPE=tan∠OAE= $\text{[math]}$ 求得t= $\text{[math]}$ ，PG= $\text{[math]}$ 从而判断以P点为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与直线AE位置关系为相切．②当点P在直线AE右侧时，过点P作PM⊥AE于点M根据tan∠MQP=tan∠DQN= $\text{[math]}$ ，tan∠PAM= $\text{[math]}$ 可求出PM= $\text{[math]}$ ，t= $\text{[math]}$ ，则可判断以P点为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与直线AE位置关系为相交．
点评：考查了有关动点类的综合性习题，考虑问题要全面，如本题中的（2）小题有三种情况，（3）小题有两种情况．在求图形面积与动点的运动时间之间的函数关系式时，首先考虑面积公式，用面积公式中需要的量用含t的代数式表示，再代入面积公式即可，若不能直接用面积公式就要考虑“割补法”来求取图形面积，如本题（2）小题中的第三种情况．