题目内容
已知如图,直线AE:y=3x+12交x轴于E点,交y轴于A点,再把△AOE沿着AE翻折,使得AO落在AD的位置,设直线AD交轴x于点B,P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动,设点P的运动时间为t.
(1)求直线AD的解析式;
(2)设△PDE的面积为S,求S与t的函数关系式,直接写出自变量的取值范围;
(3)连接DP,设直线DP交直线AE于点Q,当直线DP与直线AE的夹角的正切为
时,求t的值,并判断此时以P点为圆心,以
为半径的圆与直线AE的位置关系.
(1)求直线AD的解析式;
(2)设△PDE的面积为S,求S与t的函数关系式,直接写出自变量的取值范围;
(3)连接DP,设直线DP交直线AE于点Q,当直线DP与直线AE的夹角的正切为
1 |
2 |
6
| ||
7 |
分析:(1)先根据直线y=3x+12求出点A,E的坐标从而求出OE=4,0A=12,再△ADE是△AOE沿着AE翻折所得,求出ED=4,AD=12,∠EDB=90°,然后根据△EDB∽△AOB求出BE=5,得到点B的坐标为(-9,0),利用待定系数法即可求出直线AD的解析式为y=
x+12.
(2)由于P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动,所以当点P分别在线段BE,OE,OA上时,△PDE的面积的求法不同,所以必须分三种情况讨论.
当点P在线段BE,OE时,利用三角形的面积公式来表示所求三角形的面积,所以就需要作△PDE的高,故过点D作DF⊥OB于点F,则有△PDE的面积S=
PE•DF,此时PE有两种表示情况:①PE=5-t,②PE=t-5,所以可求出S的两种情况,当点P在线段OA上时,△PDE的面积S=S四边形ADEO-S△POE-S△ADP=2S△AOE-
×OP•OE-
×AP•OF,此时OP=t-9,AP=OB+OA-t=21-t,代入即可求得S的第三种情况.
(3)根据直线DP与直线AE的夹角的正切为
,可知tan∠DQN=
=
,满足这个条件的点P有两个,分别在直线AE的左右两侧.利用点D,O关于直线AE对称,连接OD,可得AE⊥OD,DN=ON,AE=4
,从而求出AN=
,EN=AE-AN=
,ON=
,NQ=2DN=
,分两种情况讨论:①当点P在直线AE左侧时,过点P做PG⊥AE于G,则QG=2PG,根据tan∠GPE=tan∠OAE=
求得t=
,PG=
从而判断以P点为圆心,以
为半径的圆与直线AE位置关系为相切.②当点P在直线AE右侧时,过点P作PM⊥AE于点M根据tan∠MQP=tan∠DQN=
,tan∠PAM=
可求出PM=
,t=
,则可判断以P点为圆心,以
为半径的圆与直线AE位置关系为相交.
4 |
3 |
(2)由于P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动,所以当点P分别在线段BE,OE,OA上时,△PDE的面积的求法不同,所以必须分三种情况讨论.
当点P在线段BE,OE时,利用三角形的面积公式来表示所求三角形的面积,所以就需要作△PDE的高,故过点D作DF⊥OB于点F,则有△PDE的面积S=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)根据直线DP与直线AE的夹角的正切为
1 |
2 |
DN |
NQ |
1 |
2 |
10 |
18
| ||
5 |
2
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5 |
6
| ||
5 |
12
| ||
5 |
1 |
3 |
55 |
7 |
6
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7 |
6
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7 |
1 |
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1 |
3 |
6
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25 |
93 |
5 |
6
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7 |
解答:解:(1)由直线y=3x+12可知
当x=0时,y=12,即点A的坐标为(0,12)
当y=0时,x=-4,即点E的坐标为(-4,0)
则OE=4,0A=12
∵△ADE是△AOE沿着AE翻折所得
∴ED=EO=4,AD=AO=12,∠EDA=∠EOA=∠EDB=90°
∵∠ABO=∠EBD,∠EDB=∠AOB
∴△EDB∽△AOB
∴
=
=
=
∴AB=3BE
∴BD=AB-AD=3BE-12
∵OB=BE+OE=BE+4
=
∴
=
∴BE=5 OB=9 BD=3
即点B的坐标为(-9,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(0,12),B(-9,0)代入得:k=
,b=12
∴y=
x+12
(2)过点D作DF⊥OB于点F,由(1)可知BD=3 ED=4
∴BE=5
在Rt△BDE中DF=
=
=
①当点P在点E,B之间时,BP=t,PE=5-t
S=
PE•DF=
(5-t)×
=-
t+6(0≤t<5)
②当点P在点E,O之间时,PE=t-5
S=
PE•DF=
(t-5)×
=
t-6(5≤t<9)
③由直线AD的解析式y=
x+12可知,当y=
时,x=-
,即点D的坐标为(-
,
)
当点P在线段OA上时,OP=t-9,AP=OB+OA-t=21-t
S=S四边形ADEO-S△POE-S△ADP=2S△AOE-
×OP•OE-
×AP•OF=48-
(t-9)×4-
×(21-t)×
=
t-
(9≤t≤21)
(3)连接OD,教AE于点N
∵点D,O关于直线AE对称
∴AE⊥OD DN=ON AE=
=4
∴Rt△ANO∽Rt△ONE∽Rt△AOE
∴AN=
=
=
EN=AE-AN=4
-
=
ON=DN=
AN=
∵tan∠DQN=
=
∴NQ=2DN=
①当点P在直线AE左侧时,过点P做PG⊥AE于G,则QG=2PG
∵∠GPE=∠OAE
∴tan∠GPE=tan∠OAE=
∴GE=
PG
∴QE=QG+GE=2PG+
PG=
PG
又∵QE=QN-NE=2
∴PG=
GE=
∴PE=
=
又∵PE=5-t
∴5-t=
即t=
∵PG=
∴当t=
时,以P点为圆心,以
为半径的圆与直线AE相切.
②当点P在直线AE右侧时,过点P作PM⊥AE于点M
∵tan∠MQP=tan∠DQN=
∴MQ=2PM
∵tan∠PAM=
∴AM=3PM
∴AQ=2PM+3PM=5PM
又∵AQ=AN-QN=
∴5PM=
即PM=
<
∴AD=
PM=
又∵AP=21-t
∴21-t=
即t=
∴当t=
时,以P点为圆心,以
为半径的圆与直线AE相交.
当x=0时,y=12,即点A的坐标为(0,12)
当y=0时,x=-4,即点E的坐标为(-4,0)
则OE=4,0A=12
∵△ADE是△AOE沿着AE翻折所得
∴ED=EO=4,AD=AO=12,∠EDA=∠EOA=∠EDB=90°
∵∠ABO=∠EBD,∠EDB=∠AOB
∴△EDB∽△AOB
∴
BE |
AB |
BD |
BO |
DE |
AO |
1 |
3 |
∴AB=3BE
∴BD=AB-AD=3BE-12
∵OB=BE+OE=BE+4
BD |
OB |
1 |
3 |
∴
3BE-12 |
BE+4 |
1 |
3 |
∴BE=5 OB=9 BD=3
即点B的坐标为(-9,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b,把A(0,12),B(-9,0)代入得:k=
4 |
3 |
∴y=
4 |
3 |
(2)过点D作DF⊥OB于点F,由(1)可知BD=3 ED=4
∴BE=5
在Rt△BDE中DF=
BD•DE |
BE |
3×4 |
5 |
12 |
5 |
①当点P在点E,B之间时,BP=t,PE=5-t
S=
1 |
2 |
1 |
2 |
12 |
5 |
6 |
5 |
②当点P在点E,O之间时,PE=t-5
S=
1 |
2 |
1 |
2 |
12 |
5 |
6 |
5 |
③由直线AD的解析式y=
4 |
3 |
12 |
5 |
36 |
5 |
36 |
5 |
12 |
5 |
当点P在线段OA上时,OP=t-9,AP=OB+OA-t=21-t
S=S四边形ADEO-S△POE-S△ADP=2S△AOE-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
36 |
5 |
8 |
5 |
48 |
5 |
(9≤t≤21)
(3)连接OD,教AE于点N
∵点D,O关于直线AE对称
∴AE⊥OD DN=ON AE=
OA2+OE2 |
10 |
∴Rt△ANO∽Rt△ONE∽Rt△AOE
∴AN=
AO2 |
AE |
144 | ||
4
|
18
| ||
5 |
10 |
18
| ||
5 |
2
| ||
5 |
1 |
3 |
6
| ||
5 |
∵tan∠DQN=
DN |
NQ |
1 |
2 |
∴NQ=2DN=
12
| ||
5 |
①当点P在直线AE左侧时,过点P做PG⊥AE于G,则QG=2PG
∵∠GPE=∠OAE
∴tan∠GPE=tan∠OAE=
1 |
3 |
∴GE=
1 |
3 |
∴QE=QG+GE=2PG+
1 |
3 |
7 |
3 |
又∵QE=QN-NE=2
10 |
∴PG=
6
| ||
7 |
2
| ||
7 |
∴PE=
PG2+GE2 |
20 |
7 |
又∵PE=5-t
∴5-t=
20 |
7 |
55 |
7 |
∵PG=
6
| ||
7 |
∴当t=
55 |
7 |
6
| ||
7 |
②当点P在直线AE右侧时,过点P作PM⊥AE于点M
∵tan∠MQP=tan∠DQN=
1 |
2 |
∴MQ=2PM
∵tan∠PAM=
1 |
3 |
∴AM=3PM
∴AQ=2PM+3PM=5PM
又∵AQ=AN-QN=
6
| ||
5 |
∴5PM=
6
| ||
5 |
6
| ||
25 |
6
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7 |
∴AD=
10 |
12 |
5 |
又∵AP=21-t
∴21-t=
12 |
5 |
93 |
5 |
∴当t=
93 |
5 |
6
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7 |
点评:考查了有关动点类的综合性习题,考虑问题要全面,如本题中的(2)小题有三种情况,(3)小题有两种情况.在求图形面积与动点的运动时间之间的函数关系式时,首先考虑面积公式,用面积公式中需要的量用含t的代数式表示,再代入面积公式即可,若不能直接用面积公式就要考虑“割补法”来求取图形面积,如本题(2)小题中的第三种情况.
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