题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12.点D在直线CB上,以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G,
(1)如图,点D在线段CB上,四边形ACDE是正方形.
①若点G为DE的中点,求FG的长.
②若DG=GF,求BC的长.
(2)已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形?若存在,求该三角形的腰长;若不存在,试说明理由.
【答案】(1)①,②12;(2)等腰的腰长为4或20或或.理由见解析.
【解析】
(1)①只要证明△ACF∽△GEF,推出,即可解决问题;②如图1中,想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题;
(2)分四种情形:①如图2中,当点D在线段BC上时,此时只有GF=GD,②如图3中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,CE的交点中AE上方时,此时只有GF=DG,
③如图4中,当点D在线段BC的延长线上,且直线AB,EC的交点中BD下方时,此时只有DF=DG,如图5中,当点D中线段CB的延长线上时,此时只有DF=DG,分别求解即可解决问题.
(1)①在正方形中,,
在中,,
,
,
,
,
,
②如图1中,
正方形中,,,
,
,
,设,
,
,
,
,
在中,,
,
解得,
,
在中,.
(2)在中,,
如图2中,
当点在线段上时,此时只有,
,
,
设,则,,
,则,
,
,
,
,
整理得:,
解得或5(舍弃)
腰长.
如图3中,
当点在线段的延长线上,且直线,的交点中上方时,此时只有,设,则,,
,
,
,
,
,
解得或(舍弃),
腰长.
如图4中,
当点在线段的延长线上,且直线,的交点中下方时,此时只有,过点作.
设,则,,,
,
,
,
,
,
,
,
解得或(舍弃)
腰长,
如图5中,
当点在线段的延长线上时,此时只有,作于.
设,则,,,
,
,
,
,
,
,
,
解得或(舍弃),
腰长,
综上所述,等腰的腰长为4或20或或.