Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．
（1）若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B₁，点C到达点C₁，点D到达点D₁，求点B₁、C₁、D₁的坐标．
（2）若线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一个根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据网格特点，分别找出旋转后的点B₁、C₁、D₁的位置，然后顺次连接即可得到旋转后的正方形，然后利用平面直角坐标系写出点的坐标；
（2）先利用勾股定理求出AC₁的长度，与点D₁的横坐标的差后代入一元二次方程求解关于a的一元一次方程即可．

解答：解：（1）如图，B₁、C₁、D₁的坐标分别为：
B₁（2，-1），C₁（4，0），D₁（3，2）；

（2）根据勾股定理，AC₁=

32+12

=

10

，
∴线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差是

10

-3，
∴（

10

-3）²+（

10

-3）a+1=0，
整理，10-6

10

+9+（

10

-3）a+1=0，
∴（

10

-3）a=-20+6

10

，
解得a=-2

10

．
故答案为：（1）B₁（2，-1），C₁（4，0），D₁（3，2）；（2）a=-2

10

．

点评：本题考查了利用旋转作图，正方形的性质，勾股定理以及一元二次方程的解的知识，难度不大，能根据平面直角坐标系找出点的坐标是关键．