题目内容
【题目】综合与实践
四边形旋转中的数学
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
任务一：如图1，在矩形ABCD中，
，
，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．
请直接写出CG的长是______．
如图2，当矩形AEGF绕点A旋转
比如顺时针旋转
至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．
当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在ABCD中，
，，，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接
“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．
如图5，当AEGF绕点A旋转比如顺时针旋转，其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系
请你直接写出这个特定的数量关系．
【答案】（1）5；（2）
．（3）成立，详见解析.(4)
.
【解析】
延长EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形
在
中，利用勾股定理即可解决问题；
作
于
利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；
连接AG、
只要证明
∽
，可得
即可解决问题；
通过计算即可解决问题.
如图1中，延长EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．
在中，
，
，
．
故答案为5．
如图2中，作于P．
在矩形AEGF中，
，
，
，
，
在
中，
，
由
∽
，可得
，
，
，
，
，
在
中，
，
．
成立理由如下：连接AG、AC．
由旋转可知：
，
由勾股定理可知：
，
，
，
，
，
∽，
，
．
如图4中，延长EG交CD于H，作
于K．
由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
．
在图5中，连接AG、同法可证：∽，可得：
，可得
．
【题目】为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如表：
射击次序（次） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲的成绩（环） | 8 | 9 | 7 | 9 | 8 | 6 | 7 | a | 10 | 8 |
乙的成绩（环） | 6 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 8 | 7 | 7 | 10 |
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8（环），请求出表中的a＝ ；
（2）甲成绩的中位数是 环，乙成绩的众数是 环；
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
